Mit Hilfe der Extremwertsätze lassen sich typische Eigenschaften von Graphen (hier relative Extrema) berechnen. Jede Funktion, die mindestens zweimal differenzierbar ist, hat an der Stelle x=a einen relativen Extremwert, falls: f’(a)=0 und f”(a)<>0 ist.
Beispiel 1:
Die Funktionsgleichung f(x)=3x²-12x besitzt die beiden Ableitungen
f’(x)=6x-12 und f”(x)=6. Setzt man die 1. Ableitung gleich Null, so ergibt
sich 0=6x-12 oder 6x=12 oder x=2. Den Wert 2 in die 2. Ableitung
eingesetzt: f”(2)=6<>0. Daraus folgt: an der Stelle x=2 besitzt die Funktion
einen relativen Extremwert.
Beispiel 2:
Für die Funktion f(x)=x³ hat gilt zwar f’(0)=0 aber auch f”(0)=0, sie hat also im Ursprung keinen relativen Extremwert, sondern einen “Sattelpunkt”.
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[...] lokales Maximum einer gegebenen Funktionsgleichung ist ein Extremwert [...]